بسط دو جمله ای نیوتن

ب

سلام،

من تصمیم گرفتم امروز با نام مستعار طوفان آسمان (واقعاً چرا طوفان آسمان؟!) یکی از مفاهیم پر کاربرد ریاضی رو براتون توضیح بدم که همون بسط دو جمله ای (مرحوم) نیوتنه.

اگه یادتون باشه این موضوع رو  توی یکی از تمرین های ریاضی2 هم داشتیم ولی خب شاید خیلی روش تمرکز نکردیم.

فکر نکنم لازم باشه توضیح بدم که:

(a+b)²=a²+2ab+b²  و  (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

حالا می خواهیم یه الگوی کارآمد برای پیدا کردن ضرایب و توانای اتحاد هایی به شکل a+b)ⁿ)  پیدا کنیم.

و اون الگو ازین قراره:(بهتر است قبل از خواندن ادامه کمی روی این موضوع فکر کنید!)

a+b)⁴) چیزی جز این نیست:

(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)

حالا خیلی ساده از هر پرانتز a یا b بر می داریم.در بسط(همون قسمت طولانی تر در هر اتحاد،)هم جمله هایی به صورت xaⁱb^j خواهیم داشت که x).i+j=n=ضریب)

پس کاری که ما میکنیم در واقع انتخاب i تا از پرانتز هاست تا i توان a در بسط باشه.

بنابراین مثلاً برای دانستن ضریب جمله ی ab³ در a+b)⁴) کافیه حاصل  رو حساب کنیم.(=تعداد حالات انتخاب یکی از پرانتز ها تا از اون a رو برداریم.)

در اینصورت از بقیه پرانتز ها b برمی داریم و در کل از یک پرانتز  a و از سه تا b برداشته ایم.(=ab³)

پس حاصل اتحادِ کلی a+b)ⁿ) به این شکله:

که حالت خلاصه اش میشه:

 

این فرمول اثبات استقرایی(؟!) نیز دارد که بعد از بحث استقرا به آن می پردازیم.

درنهایت سه مثال که برای حل آن ها به ساندویچ فسفر و پنیر آقا فری نیازمندید(!):

1.      نشان دهید تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه nعضوی برابر است با 2ⁿ.

2.      نشان دهید تعداد زیر مجموعه های فرد عضوی هر مجموعه با تعداد زیر مجموعه های زوج عضوی آن برابر است.

3.      نشان دهید:

اگر روش بهتری برای قرار دادن Equations سراغ دارید لطفاً به بنده هم اطلاع دهید.

در قسمت نظرات پاسخگوی سؤالات شما هستم.

^{التماس دعا}